标准二阶系统

动态系统建模与分析 · 学习笔记
2026年2月12日

1. 标准形式

$$H(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}$$

对应的微分方程：

$$\ddot{x} + 2\zeta\omega_n \dot{x} + \omega_n^2 x = \omega_n^2 u(t)$$

其中 $\omega_n$ 为无阻尼自然频率，$\zeta$ 为阻尼比。

① 标准系统从何而来？—— 弹簧-质量-阻尼系统

由牛顿第二定律：

$$F(t) - b\dot{x} - kx = m\ddot{x}$$ $$\Rightarrow \ddot{x} + \frac{b}{m}\dot{x} + \frac{k}{m}x = \frac{F(t)}{m}$$

定义系统参数：

$$\omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad \zeta = \frac{b}{2\sqrt{mk}}$$

代入得：

$$\ddot{x} + 2\zeta\omega_n \dot{x} + \omega_n^2 x = \frac{F(t)}{m}$$

作拉普拉斯变换（零初始条件）：

$$s^2 X(s) + 2\zeta\omega_n s X(s) + \omega_n^2 X(s) = \frac{1}{m}F(s)$$ $$\frac{X(s)}{F(s)} = H(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}$$

注：$\omega_n$ 与 $\zeta$ 固定的情况下，增益系数 $K$ 不影响极点、零点，只对输出增益有影响，故取标准形式 $H(s) = \dfrac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}$。

2. 特征方程与极点

特征方程：

$$s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2 = 0$$

特征根：

$$s = -\zeta\omega_n \pm \omega_n\sqrt{\zeta^2 - 1}$$

定义：

• 衰减度：$\delta = \zeta\omega_n$
• 阻尼振荡频率：$\omega_d = \omega_n\sqrt{1 - \zeta^2}$（$\zeta < 1$ 时）

按阻尼比 $\zeta$ 分类：

条件	特征根	响应特性
$\zeta > 1$	两个负实根 $s_{1,2} < 0$	过阻尼，无振荡
$\zeta = 1$	重根 $s = -\omega_n$	临界阻尼，最快无振荡
$0 < \zeta < 1$	共轭复根 $s = -\zeta\omega_n \pm j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$	欠阻尼，振荡衰减
$\zeta = 0$	纯虚根 $s = \pm j\omega_n$	无阻尼，等幅振荡
$\zeta < 0$	实部为正	不稳定，振荡发散

3. 阶跃响应推导

输入 $R(s) = \frac{1}{s}$：

$$X(s) = R(s)H(s) = \frac{\omega_n^2}{s(s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2)}$$

部分分式展开：

$$X(s) = \frac{A}{s} + \frac{Bs + C}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}$$

解得 $A = 1$，$B = -1$，$C = -2\zeta\omega_n$：

$$X(s) = \frac{1}{s} + \frac{-s - 2\zeta\omega_n}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}$$

这是根据 $\zeta$ 的取值分类讨论。

① $\zeta > 1$（过阻尼）

$$X(s) = \frac{1}{s} + \frac{\omega_n}{2\sqrt{\zeta^2 - 1}}\left(\frac{1}{s + \zeta\omega_n + \omega_n\sqrt{\zeta^2-1}} - \frac{1}{s + \zeta\omega_n - \omega_n\sqrt{\zeta^2-1}}\right)$$

令 $\delta = \zeta\omega_n$，$\omega_d = \omega_n\sqrt{\zeta^2 - 1}$：

$$x(t) = 1 - \frac{\omega_n}{\sqrt{\zeta^2 - 1}}e^{-\delta t}\cdot\frac{e^{\omega_d t} - e^{-\omega_d t}}{2} = 1 - \frac{\omega_n}{\sqrt{\zeta^2 - 1}}e^{-\delta t}\sinh(\omega_d t)$$

② $0 < \zeta < 1$（欠阻尼）

令 $\delta = \zeta\omega_n$，$\omega_d = \omega_n\sqrt{1 - \zeta^2}$，分母分解为共轭复根：

$$X(s) = \frac{1}{s} - \frac{s + \delta}{(s + \delta)^2 + \omega_d^2} - \frac{\delta}{\omega_d}\cdot\frac{\omega_d}{(s + \delta)^2 + \omega_d^2}$$ $$x(t) = 1 - e^{-\delta t}\cos\omega_d t - e^{-\delta t}\frac{\delta}{\omega_d}\sin\omega_d t$$ $$x(t) = 1 - e^{-\delta t}\left(\cos\omega_d t + \frac{\zeta}{\sqrt{1 - \zeta^2}}\sin\omega_d t\right)$$

合并为正弦形式：

$$x(t) = 1 - \frac{e^{-\delta t}}{\sqrt{1 - \zeta^2}}\sin(\omega_d t + \varphi), \qquad \varphi = \arctan\frac{\sqrt{1 - \zeta^2}}{\zeta}$$

③ $\zeta = 1$（临界阻尼）

$$X(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s + \omega_n} - \frac{\omega_n}{(s + \omega_n)^2}$$ $$x(t) = 1 - e^{-\omega_n t} - \omega_n t\,e^{-\omega_n t} = 1 - e^{-\omega_n t}(1 + \omega_n t)$$

④ $\zeta = 0$（无阻尼）

$$X(s) = \frac{1}{s} - \frac{s}{s^2 + \omega_n^2}$$ $$x(t) = 1 - \cos\omega_n t$$

⑤ $\zeta < 0$（不稳定）

形式与欠阻尼相同：

$$x(t) = 1 - \frac{e^{-\delta t}}{\sqrt{1 - \zeta^2}}\sin(\omega_d t + \varphi)$$

但此时 $\delta = \zeta\omega_n < 0$，指数项 $e^{-\delta t}$ 随时间增长，振荡发散，系统不稳定。

4. 三个指标（以 $0 < \zeta < 1$ 为例）

基础公式：

$$x(t) = 1 - \frac{e^{-\zeta\omega_n t}}{\sqrt{1 - \zeta^2}}\sin(\omega_d t + \varphi), \qquad \varphi = \arctan\frac{\sqrt{1 - \zeta^2}}{\zeta}$$

① 峰值时间 $T_p$

令 $x'(t) = 0$：

$$\sin(\omega_d t + \varphi) = 0 \Rightarrow \omega_d t = n\pi$$

第一个峰值（$n = 1$）：

$$T_p = \frac{\pi}{\omega_d} = \frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1 - \zeta^2}}$$

② 超调量 $\%OS$

将 $T_p$ 代入 $x(t)$：

$$x(T_p) = 1 - \frac{e^{-\zeta\pi/\sqrt{1-\zeta^2}}}{\sqrt{1 - \zeta^2}}\sin(\varphi + \pi) = 1 + e^{-\zeta\pi/\sqrt{1-\zeta^2}}$$ $$\%OS = e^{-\zeta\pi/\sqrt{1-\zeta^2}} \times 100\%$$

③ 调节时间 $T_s$（2% 准则）

响应的振荡包络为 $\dfrac{1}{\sqrt{1-\zeta^2}}e^{-\zeta\omega_n t}$，令包络衰减至 2%：

$$e^{-\zeta\omega_n T_s} \le 0.02$$ $$T_{s,2\%} \approx \frac{4}{\zeta\omega_n}$$

若按 5% 准则：

$$T_{s,5\%} \approx \frac{3}{\zeta\omega_n}$$