冲激函数与系统

动态系统建模与分析 · 学习笔记
2026年8月13日

1. 冲激函数（狄拉克函数）

\delta(t) = \begin{cases} \infty, & t = 0 \\ 0, & t \ne 0 \end{cases}

且满足归一化条件（单位冲激函数）：

\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t)\,dt = 1

是一种广义函数。严格定义为与测试函数 $\varphi(t)$ 的作用：

\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t)\,\varphi(t)\,dt = \varphi(0)

更一般地（平移）：

\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t - t_0)\,\varphi(t)\,dt = \varphi(t_0)

$\delta(t)$ 的本质：一种“采样算子”——提取函数在冲激位置处的值。

筛选性：

\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t - t_0)\,\varphi(t)\,dt = \varphi(t_0), \qquad x(t)\,\delta(t - t_0) = x(t_0)\,\delta(t - t_0)

对称性：

\delta(t) = \delta(-t)

尺度变换：

\delta(at) = \frac{1}{|a|}\delta(t), \qquad \delta(at + b) = \frac{1}{|a|}\delta\left(t + \frac{b}{a}\right)

卷积性质：

(\varphi * \delta)(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(\tau)\,\delta(t - \tau)\,d\tau = \varphi(t)

\varphi(t) * \delta(t - t_0) = \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(\tau)\,\delta(t - t_0 - \tau)\,d\tau = \varphi(t - t_0)

即：任意函数与冲激函数卷积 = 该函数本身；与 $\delta(t - t_0)$ 卷积 = 平移后的函数。

\delta(t) = \frac{d}{dt}u(t), \qquad u(t) = \int_{-\infty}^{t} \delta(\zeta)\,d\zeta

定义：系统在单位冲激函数 $\delta(t)$ 激励下产生的输出信号（系统须初始松弛）。

任意信号 $x(t)$ 可看作一系列冲激函数的叠加：

x(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\zeta)\,\delta(t - \zeta)\,d\zeta

推导思路：把 $x(t)$ 按 $\Delta t_0$ 分段，每段用一个面积为 $x(k\Delta t_0)\Delta t_0$ 的冲激近似：

x(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x(k\Delta t_0)\,\delta(t - k\Delta t_0)\,\Delta t_0

当 $\Delta t_0 \to 0$ 时取极限即得积分形式。

(1) 时不变性：输入 $\delta(t) \to$ 输出 $h(t)$ ；输入 $\delta(t - \zeta) \to$ 输出 $h(t - \zeta)$

(2) 齐次性：输入 $\delta(t) \to$ 输出 $h(t)$ ；输入 $A\delta(t) \to$ 输出 $Ah(t)$

(3) 叠加性：输入 $u_1(t) \to$ 输出 $x_1(t)$ ；输入 $u_2(t) \to$ 输出 $x_2(t)$ ；输入 $u_1(t) + u_2(t) \to$ 输出 $x_1(t) + x_2(t)$

根据①②，信号可分解为冲激信号的叠加，而 LTI 系统对叠加的响应 = 响应的叠加。

输入分解：

x(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\,\delta(t - \tau)\,d\tau

输出即为（卷积）：

\int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\,h(t - \tau)\,d\tau = x(t) * h(t)

即系统输出 = 输入与冲激响应的卷积：

x(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} u(\tau)\,h(t - \tau)\,d\tau = u(t) * h(t)

\mathcal{L}\{\delta(t)\} = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t) e^{-st}\,dt = e^0 = 1

对应拉氏变换域关系 $X(s) = U(s)H(s)$ ：

当输入为 $\delta(t)$ 时， $U(s) = \mathcal{L}\{\delta(t)\} = 1$ ，故

X(s) = 1 \cdot H(s) = H(s)

故冲激响应就是传递函数： $H(s) = \mathcal{L}\{h(t)\}$ ，即传递函数是冲激响应的拉普拉斯变换。