标准一阶系统

动态系统建模与分析 · 学习笔记
2026年8月13日

1. 标准一阶系统形式

标准一阶系统的传递函数为：

H(s) = \frac{K}{\tau s + 1}

其中 $K$ 为直流增益（对应微分方程中输入的增益）， $\tau$ 为时间常数。

对应的微分方程为：

\tau \dot{x} + x = K u(t)

设定 $x(t) = h(t)$ （液位）， $u(t) = q_{in}$ （流入流量），建立微分方程：

\dot{x} + \frac{g}{AR}\,x = \frac{1}{A}\,u(t)

作拉普拉斯变换（LT）：

sX(s) + \frac{1}{AR}\,X(s) = \frac{1}{A}\,U(s)

得到传递函数：

H(s) = \frac{X(s)}{U(s)} = \frac{\frac{1}{A}}{s + \frac{1}{AR}}

s = -\frac{1}{\tau}

只有一个实数极点，故不会超调，不会振荡。

系统的阶跃响应（输入 $u(t) = A \cdot 1(t)$ ）：

X(s) = \frac{A}{s} \cdot \frac{K}{\tau s + 1} = \frac{AK}{s(\tau s + 1)}

部分分式展开：

X(s) = AK\left(\frac{1}{s} - \frac{1}{s + \frac{1}{\tau}}\right)

反变换得时域响应：

x(t) = AK\left(1 - e^{-t/\tau}\right)

当 $t = \tau$ 时：

x(\tau) = AK\left(1 - e^{-1}\right) \approx AK \times 63\%

这也是时间常数 $\tau$ 的定义方式之一：响应达到稳态值约 63% 所需的时间。

分别令 $1 - e^{-t/\tau} = 0.1$ 和 $1 - e^{-t/\tau} = 0.9$ ：

t_{0.1} = \tau \ln\frac{1}{0.9} \approx 0.105\tau, \qquad t_{0.9} = \tau \ln\frac{1}{0.1} \approx 2.303\tau

T_r = t_{0.9} - t_{0.1} \approx 2.2\tau

令 $1 - e^{-t/\tau} = 0.98$ ：

T_s = \tau \ln 50 \approx 4\tau

若允许 5% 误差（即 $1 - e^{-t/\tau} = 0.95$ ）：

T_s = \tau \ln 20 \approx 3\tau